プラグインの練習

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カントール集合の余集合の測度

区間\([0,1]\)におけるカントール集合\(S\)の余集合\(S'\)の測度は、 \[ \begin{align} mS' &= \sum_{n=1}^{\infty(可算無限)} {1\over3} \Big({2\over3}\Big)^{n-1} \\ & = \frac{1/3}{1-2/3}~~~(\because 等比級数の和の公式) \\ & = 1 \end{align} \] である。1行目の\(S'\)の測度が無限等比級数で与えられることの証明。
有限回の手順において、\(S_n'\)の測度は \[ \begin{align} mS_n' &= \sum_{i=1}^{n} {1\over3} \Big({2\over3}\Big)^{i-1} \\ \end{align} \] で与えられることは認めるとする。無限回の手順において、 \[ \begin{align} mS' &= \sum_{n=1}^{\infty} {1\over3} \Big({2\over3}\Big)^{n-1}= 1\\ \end{align} \] となることを証明する。(有限回の手順で等しいからと言って、無限回の手順で等しいかどうかは分からないような気がしたので)

(証明)
\(mS'\lt 1\)と仮定する。すると、ある\(\alpha \gt 0\) があって、\(mS'=1-\alpha\)となる。
級数\(\sum_{i=1}^{n} {1\over3} \Big({2\over3}\Big)^{i-1}\)は、増大列で\(n\to \infty\)で\(1\)に収束するので、ある\(n_0\ne \infty\)があって\(n\gt n_0\)ならば \[ mS_n' = \sum_{i=1}^{n} {1\over3} \Big({2\over3}\Big)^{i-1} \gt 1-\alpha = mS' \] となる。 これは、 \[ mS_n'\le mS'~~~(\because S_n'\subset S'\ 114節2.外測度は単調なので、ルベーグ測度も単調) \] ということに反する。よって、\(mS'\not\lt 1\)である。
また、 \[ mS'\le m[0,1] = 1~~~(\because S'\subset[0,1]\ 114節2.外測度は単調なので、ルベーグ測度も単調) \] である。\(S'\)は可測(\(\because S'は開集合\))なので測度を持つ。よって、\(mS' = 1\)となる。以上


カントール集合の余集合は、非可算無限個の開区間の合併であるが、上記の測度の計算では可算無限しかでてこない。非可算無限個の開区間はどこにいったのか?
\(S'\)の内訳は \[ S'=\overbrace{ \underbrace{ \underbrace{\Big({1\over3},{2\over3}\Big)} _{1回目の開区間\ 1個} +\underbrace{\Big\{\Big({1\over9},{2\over9}\Big)+\Big({7\over9},{8\over9}\Big)\Big\}} _{2回目の開区間\ 2個} +\cdots +\underbrace{\Big\{\Big({1\over3^n},{2\over3^n}\Big)+\cdots\Big\}} _{n回目の開区間\ 2^{n-1}個} +\cdots }_{開区間\ 2^\infty個(非可算無限)} +\underbrace{\Big\{\Big({1\over3^\infty},{2\over3^\infty}\Big)+\cdots\Big\}} _{\infty回目の開区間\ 2^{\infty-1}個(非可算無限)} }^{\infty個(可算無限)の部分集合の合併} \] となっている。\(1〜n回目\)の操作でできる開区間の個数の合計は、\(\sum_{i=1}^n2^{i-1}=2^{n+1}-1~~~(\because 等比級数の和)\)である。 \(n\to\infty\)の極限で\(2^\infty(非可算無限)\)となるが、可算無限個の部分集合に分割されて、\(n\ne\infty回目\)の部分集合の測度は、\({1\over3}\Big({2\over3}\Big)^{n-1}\)となる。 また、\(\infty回目\)の開区間の個数はそれだけで非可算無限個あるが、測度は\(0\)である。これらによって、可算無限個の和によって\(mS'\)を求めることができたのである。
\(\infty回目\)の開区間は、幅が\({1\over3^\infty}=0\)なので空集合である。 さすがに、非可算無限個あつまっても空集合は空集合だと思われる。なので、測度は\(0\)である。
116節P.430に
一般に、\(G-F\)は開集合
とある。ただし、\(G\)は開集合、\(F\)は閉集合

(証明)
”ある点\(P\)があって、\(P\in G-F\)かつ\(P\)は\(G-F\)の内点でない”と仮定する。

\(P\)は\(G-F\)の内点でないので、\(P\)は\((G-F)'\)の集積点である。 ※1
よって、\(P\)のどのように近いところにも\((G-F)'\)に属する点が無数に存在する。
\((G-F)'=G'\cup F\)なので、
(1) \(P\)のどのように近いところにも\(G'\)に属する点が無数に存在する。または、
(2) \(P\)のどのように近いところにも\(F\)に属する点が無数に存在する。
となる。
(1)ならば、\(P\)は\(G\)の内点ではない。一方、\(P\in (G-F)\subset G\)なので、\(G\)の内点でない\(P\)が\(G\)に属することになり、これは\(G\)が開集合という条件に反する。
(2)ならば、\(P\)は\(F\)の集積点となる。一方、 \(P\in (G-F)\)より、\(P\notin F\)である。よって\(F\)の集積点\(P\)が\(F\)に属しておらず、これは\(F\)が閉集合という条件に反する。

よって”全ての点\(P\)について、\(P\notin G-F\)または\(P\)は\(G-F\)の内点である"となる。
すなわち”全ての点\(P\)について、\(P\in G-F\)ならば\(P\)は\(G-F\)の内点である"となる。 ※2

よって、\(G-F\)は開集合である。

※1 点\(P\)は集合\(E\)の内点でない \(\leftrightarrow\) 点\(P\)は余集合\(E'\)の集積点である
※2\((\overline{A}\lor B) \Leftrightarrow (A \to B)\)
教科書では、内点の定義(12節P.29)
点集合\(S\)に属する一つの点\(P\)に十分近い点がすべて\(S\)に属するとき、\(P\)を\(S\)の内点という。
集積点の定義(7節P.14)
一つの集合\(S\)に関して或る点\(A\)が集積点であるとは、点\(A\)にどれほど近いところにも\(S\)に属する点が無数にあることをさしていう。ただし\(A\)が集合\(S\)に属するというのではない。
となっている。この定義を使った ”集合\(E\)に属する点\(P\)は\(E\)の内点でない \(\leftrightarrow\) 点\(P\)は余集合\(E'\)の集積点である” の証明。ただし、全体集合はユークリッド空間\(R^n\)とする。


(\(\rightarrow\)の証明)
集合\(E\)に属する点\(P\)が\(E\)の内点でないとき、\(P\)のどれほど近いところにも余集合\(E'\)に属する点\(Q\)が存在する。

ここで\(Q\)の個数が有限個と仮定すると、\(P\)に最も近い\(Q\)を\(Q_1\)として、\(Q_1\)より\(P\)に近いところの点はすべて\(E\)に属することになる。よって\(P\)は\(E\)の内点である。これは\(P\)が\(E\)の内点でないという条件に反する。よって\(Q\)は無数にある。

よって、\(P\)のどれほど近いところにも余集合\(E'\)に属する点\(Q\)が無数にある。よって、\(P\)は余集合\(E’\)の集積点である。

(\(\leftarrow\)の証明)
\(P\)が余集合\(E’\)の集積点ならば、\(P\)のどれほど近いところにも\(E'\)に属する点が無数に存在する。よって\(P\)は集合\(E\)の内点ではない。

(メモ)
"点\(Q\)が存在する" から "点\(Q\)が無数にある"を導く部分が悩んだ。最も近い点\(Q_1\)が存在するとか、\(Q_1\)と\(P\)の間に区間が存在するとかいうのは、おそらくユークリッド空間\(R^n\)という仮定の下でしか言えないような気がする。

(2018-12-06 修正)
× 点\(P\)は集合\(E\)の内点でない ...
◯ 集合\(E\)に属する点\(P\)は\(E\)の内点でない ...
116節P.430に
閉集合の余集合は開集合
とある。

(証明)
閉集合\(F\)の余集合を\(F'\)とする。ここで、”ある点\(P\)があって\(P\in F'\)かつ\(P\)は\(F’\)の内点でない”と仮定する。

\(P\)は\(F'\)の内点でないので、\(P\)は\(F\)の集積点である。※1
一方、\(P\in F'\)すなわち\(P\notin F\)なので、これは\(F\)が閉集合であることに反する。

よって”すべての点\(P\)について、\(P\notin F'\)または\(P\)は\(F’\)の内点である”となる。
すなわち”すべての点\(P\)について、\(P\in F'\)ならば\(P\)は\(F’\)の内点である”となる。※2

\(F'\)に属する点はすべて内点なので、\(F’\)は開集合である。

※1 集合\(E\)に属する点\(P\)は集合\(E\)の内点でない \(\leftrightarrow\) 点\(P\)は余集合\(E'\)の集積点である
※2\((\overline{A}\lor B) \Leftrightarrow (A \to B)\)
116節P.430に
開集合の余集合は閉集合
とある。

(証明)
開集合\(G\)の余集合を\(G'\)とする。ここで、”ある点\(P\)があって\(P\notin G'\)かつ\(P\)は\(G'\)の集積点である”と仮定する。

\(P\)は\(G’\)集積点なので、\(P\)は\(G\)の内点ではない。※1
一方、\(P\notin G'\)すなわち\(P\in G\)なので、内点でない\(P\)が\(G\)に属することになる。これは\(G\)が開集合であることに反する。

よって”全ての点\(P\)について、\(P\in G’\)または\(P\)は\(G'\)の集積点でない"となる。
すなわち”全ての点\(P\)について、\(P\)は\(G'\)の集積点ならば\(P\in G’\)である"となる。 ※2

\(G'\)の集積点がすべて\(G'\)に含まれるので、\(G'\)は閉集合である。

※1 集合\(E\)に属する点\(P\)は集合\(E\)の内点でない \(\leftrightarrow\) 点\(P\)は余集合\(E'\)の集積点である
※2\((\overline{A}\lor B) \Leftrightarrow (A \to B)\)

近傍の定義に閉集合を使わない理由

12節P.31に
連結された開集合を領域という.
...
点Pを含む任意の領域(または一般に開集合)を点Pの近傍というが、
とある。近傍の定義に使っているのは開集合である。閉集合ではない。理由は、閉集合は孤立点を含むからである。孤立点を含むような集合に対しては\(\epsilon{-}\delta\)的な論法を実施するのが困難になる。なので、近傍の定義には開集合を使う。

私ら素人は、”開集合=開区間”、”閉集合=閉区間”という認識だからどっちでもいいと思ってしまうが、孤立点をもつ閉集合は閉区間とはまったく異なるものなので注意しないといけない。イメージ的には”開集合≒開区間”、”閉集合≠閉区間”という感じである。
\(\epsilon{-}\delta\)的な論法を実施するとき思い浮かべるのは区間である。区間のような連続的な固まりという性質をもつのは開集合のほうである。閉集合ではない
閉集合の教科書の定義とwikiの定義が異なる。
こんな感じ
教科書の定義は、”閉集合≡すべての集積点を含む集合(7節P.16)”
wikiの定義は、”閉集合≡開集合の補集合”
wikiの定義は、”完全集合≡孤立点を含まない閉集合”
である。wikiの定義だと閉集合に孤立点を含む。孤立点は集積点ではない。 なので、一見すると教科書でいう閉集合は孤立点を含まず、wikiでいう完全集合に相当するように見える。
が、教科書の115節P.429で、 "三進集合は完全集合(孤立点のない閉集合)" と書いてたりする。わけわからん

と思っていたが、よく見ると教科書の定義は、集積点以外の点を含むことを拒否していない。孤立点が含まれててもいいのである。集積点のみの集合であろうが、集積点+孤立点の集合であろうが、すべての集積点が含まれてさえいれば閉集合なのである。簡単に間違った方向に進んで悩んでしまうのが素人の悲しいところである

(追記)
孤立点のみの集合も閉集合(\(\because 集積点の集合=\varnothing\subset 閉集合\))。孤立点と孤立点の集積点の集合も閉集合(\(\{0\}\cup\Big\{n\in \mathbb{N} \Big| {1\over n}\Big\}\)とか)