開集合の余集合は閉集合
とある。
(証明)
開集合\(G\)の余集合を\(G'\)とする。ここで、”ある点\(P\)があって\(P\notin G'\)かつ\(P\)は\(G'\)の集積点である”と仮定する。
\(P\)は\(G’\)集積点なので、\(P\)は\(G\)の内点ではない。※1
一方、\(P\notin G'\)すなわち\(P\in G\)なので、内点でない\(P\)が\(G\)に属することになる。これは\(G\)が開集合であることに反する。
よって”全ての点\(P\)について、\(P\in G’\)または\(P\)は\(G'\)の集積点でない"となる。
すなわち”全ての点\(P\)について、\(P\)は\(G'\)の集積点ならば\(P\in G’\)である"となる。 ※2
\(G'\)の集積点がすべて\(G'\)に含まれるので、\(G'\)は閉集合である。
※1 集合\(E\)に属する点\(P\)は集合\(E\)の内点でない \(\leftrightarrow\) 点\(P\)は余集合\(E'\)の集積点である
※2\((\overline{A}\lor B) \Leftrightarrow (A \to B)\)