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カントール集合の余集合の測度

区間\([0,1]\)におけるカントール集合\(S\)の余集合\(S'\)の測度は、 \[ \begin{align} mS' &= \sum_{n=1}^{\infty(可算無限)} {1\over3} \Big({2\over3}\Big)^{n-1} \\ & = \frac{1/3}{1-2/3}~~~(\because 等比級数の和の公式) \\ & = 1 \end{align} \] である。1行目の\(S'\)の測度が無限等比級数で与えられることの証明。
有限回の手順において、\(S_n'\)の測度は \[ \begin{align} mS_n' &= \sum_{i=1}^{n} {1\over3} \Big({2\over3}\Big)^{i-1} \\ \end{align} \] で与えられることは認めるとする。無限回の手順において、 \[ \begin{align} mS' &= \sum_{n=1}^{\infty} {1\over3} \Big({2\over3}\Big)^{n-1}= 1\\ \end{align} \] となることを証明する。(有限回の手順で等しいからと言って、無限回の手順で等しいかどうかは分からないような気がしたので)

(証明)
\(mS'\lt 1\)と仮定する。すると、ある\(\alpha \gt 0\) があって、\(mS'=1-\alpha\)となる。
級数\(\sum_{i=1}^{n} {1\over3} \Big({2\over3}\Big)^{i-1}\)は、増大列で\(n\to \infty\)で\(1\)に収束するので、ある\(n_0\ne \infty\)があって\(n\gt n_0\)ならば \[ mS_n' = \sum_{i=1}^{n} {1\over3} \Big({2\over3}\Big)^{i-1} \gt 1-\alpha = mS' \] となる。 これは、 \[ mS_n'\le mS'~~~(\because S_n'\subset S'\ 114節2.外測度は単調なので、ルベーグ測度も単調) \] ということに反する。よって、\(mS'\not\lt 1\)である。
また、 \[ mS'\le m[0,1] = 1~~~(\because S'\subset[0,1]\ 114節2.外測度は単調なので、ルベーグ測度も単調) \] である。\(S'\)は可測(\(\because S'は開集合\))なので測度を持つ。よって、\(mS' = 1\)となる。以上


カントール集合の余集合は、非可算無限個の開区間の合併であるが、上記の測度の計算では可算無限しかでてこない。非可算無限個の開区間はどこにいったのか?
\(S'\)の内訳は \[ S'=\overbrace{ \underbrace{ \underbrace{\Big({1\over3},{2\over3}\Big)} _{1回目の開区間\ 1個} +\underbrace{\Big\{\Big({1\over9},{2\over9}\Big)+\Big({7\over9},{8\over9}\Big)\Big\}} _{2回目の開区間\ 2個} +\cdots +\underbrace{\Big\{\Big({1\over3^n},{2\over3^n}\Big)+\cdots\Big\}} _{n回目の開区間\ 2^{n-1}個} +\cdots }_{開区間\ 2^\infty個(非可算無限)} +\underbrace{\Big\{\Big({1\over3^\infty},{2\over3^\infty}\Big)+\cdots\Big\}} _{\infty回目の開区間\ 2^{\infty-1}個(非可算無限)} }^{\infty個(可算無限)の部分集合の合併} \] となっている。\(1〜n回目\)の操作でできる開区間の個数の合計は、\(\sum_{i=1}^n2^{i-1}=2^{n+1}-1~~~(\because 等比級数の和)\)である。 \(n\to\infty\)の極限で\(2^\infty(非可算無限)\)となるが、可算無限個の部分集合に分割されて、\(n\ne\infty回目\)の部分集合の測度は、\({1\over3}\Big({2\over3}\Big)^{n-1}\)となる。 また、\(\infty回目\)の開区間の個数はそれだけで非可算無限個あるが、測度は\(0\)である。これらによって、可算無限個の和によって\(mS'\)を求めることができたのである。
\(\infty回目\)の開区間は、幅が\({1\over3^\infty}=0\)なので空集合である。 さすがに、非可算無限個あつまっても空集合は空集合だと思われる。なので、測度は\(0\)である。
116節P.430に
一般に、\(G-F\)は開集合
とある。ただし、\(G\)は開集合、\(F\)は閉集合

(証明)
”ある点\(P\)があって、\(P\in G-F\)かつ\(P\)は\(G-F\)の内点でない”と仮定する。

\(P\)は\(G-F\)の内点でないので、\(P\)は\((G-F)'\)の集積点である。 ※1
よって、\(P\)のどのように近いところにも\((G-F)'\)に属する点が無数に存在する。
\((G-F)'=G'\cup F\)なので、
(1) \(P\)のどのように近いところにも\(G'\)に属する点が無数に存在する。または、
(2) \(P\)のどのように近いところにも\(F\)に属する点が無数に存在する。
となる。
(1)ならば、\(P\)は\(G\)の内点ではない。一方、\(P\in (G-F)\subset G\)なので、\(G\)の内点でない\(P\)が\(G\)に属することになり、これは\(G\)が開集合という条件に反する。
(2)ならば、\(P\)は\(F\)の集積点となる。一方、 \(P\in (G-F)\)より、\(P\notin F\)である。よって\(F\)の集積点\(P\)が\(F\)に属しておらず、これは\(F\)が閉集合という条件に反する。

よって”全ての点\(P\)について、\(P\notin G-F\)または\(P\)は\(G-F\)の内点である"となる。
すなわち”全ての点\(P\)について、\(P\in G-F\)ならば\(P\)は\(G-F\)の内点である"となる。 ※2

よって、\(G-F\)は開集合である。

※1 点\(P\)は集合\(E\)の内点でない \(\leftrightarrow\) 点\(P\)は余集合\(E'\)の集積点である
※2\((\overline{A}\lor B) \Leftrightarrow (A \to B)\)
教科書では、内点の定義(12節P.29)
点集合\(S\)に属する一つの点\(P\)に十分近い点がすべて\(S\)に属するとき、\(P\)を\(S\)の内点という。
集積点の定義(7節P.14)
一つの集合\(S\)に関して或る点\(A\)が集積点であるとは、点\(A\)にどれほど近いところにも\(S\)に属する点が無数にあることをさしていう。ただし\(A\)が集合\(S\)に属するというのではない。
となっている。この定義を使った ”集合\(E\)に属する点\(P\)は\(E\)の内点でない \(\leftrightarrow\) 点\(P\)は余集合\(E'\)の集積点である” の証明。ただし、全体集合はユークリッド空間\(R^n\)とする。


(\(\rightarrow\)の証明)
集合\(E\)に属する点\(P\)が\(E\)の内点でないとき、\(P\)のどれほど近いところにも余集合\(E'\)に属する点\(Q\)が存在する。

ここで\(Q\)の個数が有限個と仮定すると、\(P\)に最も近い\(Q\)を\(Q_1\)として、\(Q_1\)より\(P\)に近いところの点はすべて\(E\)に属することになる。よって\(P\)は\(E\)の内点である。これは\(P\)が\(E\)の内点でないという条件に反する。よって\(Q\)は無数にある。

よって、\(P\)のどれほど近いところにも余集合\(E'\)に属する点\(Q\)が無数にある。よって、\(P\)は余集合\(E’\)の集積点である。

(\(\leftarrow\)の証明)
\(P\)が余集合\(E’\)の集積点ならば、\(P\)のどれほど近いところにも\(E'\)に属する点が無数に存在する。よって\(P\)は集合\(E\)の内点ではない。

(メモ)
"点\(Q\)が存在する" から "点\(Q\)が無数にある"を導く部分が悩んだ。最も近い点\(Q_1\)が存在するとか、\(Q_1\)と\(P\)の間に区間が存在するとかいうのは、おそらくユークリッド空間\(R^n\)という仮定の下でしか言えないような気がする。

(2018-12-06 修正)
× 点\(P\)は集合\(E\)の内点でない ...
◯ 集合\(E\)に属する点\(P\)は\(E\)の内点でない ...
116節P.430に
閉集合の余集合は開集合
とある。

(証明)
閉集合\(F\)の余集合を\(F'\)とする。ここで、”ある点\(P\)があって\(P\in F'\)かつ\(P\)は\(F’\)の内点でない”と仮定する。

\(P\)は\(F'\)の内点でないので、\(P\)は\(F\)の集積点である。※1
一方、\(P\in F'\)すなわち\(P\notin F\)なので、これは\(F\)が閉集合であることに反する。

よって”すべての点\(P\)について、\(P\notin F'\)または\(P\)は\(F’\)の内点である”となる。
すなわち”すべての点\(P\)について、\(P\in F'\)ならば\(P\)は\(F’\)の内点である”となる。※2

\(F'\)に属する点はすべて内点なので、\(F’\)は開集合である。

※1 集合\(E\)に属する点\(P\)は集合\(E\)の内点でない \(\leftrightarrow\) 点\(P\)は余集合\(E'\)の集積点である
※2\((\overline{A}\lor B) \Leftrightarrow (A \to B)\)
116節P.430に
開集合の余集合は閉集合
とある。

(証明)
開集合\(G\)の余集合を\(G'\)とする。ここで、”ある点\(P\)があって\(P\notin G'\)かつ\(P\)は\(G'\)の集積点である”と仮定する。

\(P\)は\(G’\)集積点なので、\(P\)は\(G\)の内点ではない。※1
一方、\(P\notin G'\)すなわち\(P\in G\)なので、内点でない\(P\)が\(G\)に属することになる。これは\(G\)が開集合であることに反する。

よって”全ての点\(P\)について、\(P\in G’\)または\(P\)は\(G'\)の集積点でない"となる。
すなわち”全ての点\(P\)について、\(P\)は\(G'\)の集積点ならば\(P\in G’\)である"となる。 ※2

\(G'\)の集積点がすべて\(G'\)に含まれるので、\(G'\)は閉集合である。

※1 集合\(E\)に属する点\(P\)は集合\(E\)の内点でない \(\leftrightarrow\) 点\(P\)は余集合\(E'\)の集積点である
※2\((\overline{A}\lor B) \Leftrightarrow (A \to B)\)

近傍の定義に閉集合を使わない理由

12節P.31に
連結された開集合を領域という.
...
点Pを含む任意の領域(または一般に開集合)を点Pの近傍というが、
とある。近傍の定義に使っているのは開集合である。閉集合ではない。理由は、閉集合は孤立点を含むからである。孤立点を含むような集合に対しては\(\epsilon{-}\delta\)的な論法を実施するのが困難になる。なので、近傍の定義には開集合を使う。

私ら素人は、”開集合=開区間”、”閉集合=閉区間”という認識だからどっちでもいいと思ってしまうが、孤立点をもつ閉集合は閉区間とはまったく異なるものなので注意しないといけない。イメージ的には”開集合≒開区間”、”閉集合≠閉区間”という感じである。
\(\epsilon{-}\delta\)的な論法を実施するとき思い浮かべるのは区間である。区間のような連続的な固まりという性質をもつのは開集合のほうである。閉集合ではない
閉集合の教科書の定義とwikiの定義が異なる。
こんな感じ
教科書の定義は、”閉集合≡すべての集積点を含む集合(7節P.16)”
wikiの定義は、”閉集合≡開集合の補集合”
wikiの定義は、”完全集合≡孤立点を含まない閉集合”
である。wikiの定義だと閉集合に孤立点を含む。孤立点は集積点ではない。 なので、一見すると教科書でいう閉集合は孤立点を含まず、wikiでいう完全集合に相当するように見える。
が、教科書の115節P.429で、 "三進集合は完全集合(孤立点のない閉集合)" と書いてたりする。わけわからん

と思っていたが、よく見ると教科書の定義は、集積点以外の点を含むことを拒否していない。孤立点が含まれててもいいのである。集積点のみの集合であろうが、集積点+孤立点の集合であろうが、すべての集積点が含まれてさえいれば閉集合なのである。簡単に間違った方向に進んで悩んでしまうのが素人の悲しいところである

(追記)
孤立点のみの集合も閉集合(\(\because 集積点の集合=\varnothing\subset 閉集合\))。孤立点と孤立点の集積点の集合も閉集合(\(\{0\}\cup\Big\{n\in \mathbb{N} \Big| {1\over n}\Big\}\)とか)

xx列は可算無限個

教科書で、区間列とか集合列とかxx列っていうのが出てくるが、これは可算無限個の集まりのことである。
あと級数 \(\sum_{n=1}^\infty \cdots\)も可付番である以上、項の個数は可算無限個である。
これら列とか級数が出てくる定理は非可算無限個の集まりについては成立しないので注意
カントール集合はルベーグ可測であることの証明

区間\([0,1]\)においてカントール集合を\(S\)、余集合を\(S'\)とかく \[ S' = \Big({1\over3},{2\over3}\Big)+\Big({1\over9},{2\over9}\Big)+\Big({7\over9},{8\over9}\Big)+\cdots \] カントール集合\(S\)に区間の始点が非可算無限個あったのと同様に、\(n\to\infty\)の極限において右辺の開集合(開区間)は非可算無限個ある(これには、\((始点,始点)=\varnothing\)も含まれるが、空集合は開かつ閉集合なので開集合とみなしてもよい)。定理102より非可算無限個の開集合であっても、その合併は開集合である。よって\(S'\)は開集合である。116節P.431より開集合はルベーグ可測である。よって\(S'\)はルベーグ可測である、よって\(S'\)の余集合であるカントール集合\(S\)もルベーグ可測となる。
測度は \[ \begin{align} mS' &= \sum_{n=1}^{\infty(可算無限)} {1\over3} \Big({2\over3}\Big)^{(n-1)} = 1~~~\color{red}{※1} \\ \therefore mS&=m[0,1]-mS'~~~(\because ルベーグ測度の定義) \\ &= 1 - 1 = 0 \\ \end{align} \] となる。

注意すべきは、操作n回目のカントール集合の各区間の幅は \({1\over3^n}\)だから\(n\to\infty\)の極限で \[ m(カントール集合の各区間) = {1\over3^n}\to 0\ (n\to\infty) \] よって \[ mS = \sum_{各区間\in S} m(各区間)= \sum_{各区間\in S} 0 = 0 ~~~NG! \] としてはいけないことである。
なぜならカントール集合\(S\)に属する区間は\(n\to\infty\)において非可算無限個あるから、完全加法性を用いてはいけないからである。完全加法性は可算無限個の和についてのみ成立する。非可算無限個の和については成立しない。
可測かどうかについても、区間列(列なので可算無限個)の合併は可測であるが、非可算無限個の区間の合併は可測かどうかわからないのである。

※1 カントール集合の余集合の測度
カントール集合の濃度は連続体濃度であることの大雑把な説明

操作n回目で残った各区間は
\[ \Big[始点,\ 始点+{1\over3^n}\Big] \] と表される。\(n \to \infty\)の極限において、区間の幅は0になり、区間に含まれる点は始点のみとなる。 \[ \begin{align} \Big[始点,\ 始点+{1\over3^n}\Big] &\to \Big[始点,\ 始点\Big]\ (n\to\infty) \\ &=\{始点\} \\ \end{align} \] よって、\(n \to \infty\)の極限においてカントール集合は始点のみからなる集合となる。
たとえば、\({2\over3}\)の右側の区間を考えると、 \[ \begin{align} 1回目&\ \Big[{2\over3},1\Big] \\ 2回目&\ \Big[{2\over3},{2\over3}+{1\over3^2}\Big] \\ 3回目&\ \Big[{2\over3},{2\over3}+{1\over3^3}\Big] \\ \vdots& \\ \infty回目&\ \Big[{2\over3},{2\over3}+{1\over3^\infty}\Big]=\Big[{2\over3},{2\over3}\Big] \\ \end{align} \] \(1\over3\)の左側の区間を考えると、 \[ \begin{align} 1回目&\ \Big[0,{1\over3}\Big] \\ 2回目&\ \Big[{2\over3^2},{1\over3}\Big]~~~(終点=始点+{1\over3^2}になっている) \\ 3回目&\ \Big[{2\over3^2}+{2\over3^3},{1\over3}\Big]~~~(終点=始点+{1\over3^3}になっている) \\ \vdots& \\ \infty回目&\ \Big[{2\over3^2}+\cdots+{2\over3^\infty},{1\over3}\Big]=\Big[{1\over3},{1\over3}\Big]~~~(\because 無限等比級数の和)\ (終点=始点+{1\over3^\infty}になっている) \\ \end{align} \] となり、\({2\over3}\)も\({1\over3}\)も\(n\to\infty\)の極限における始点の集合に含まれていることがわかる。
次に始点の個数を考える。操作n回目の始点の個数は\(2^n\)個である。\(n \to \infty\)の極限において、始点の個数は\(2^\infty\)個となる。ただし \(\infty\)は可算無限である。\(2^\infty\)は非負整数のべき集合の個数と同じである。非負整数のべき集合の濃度は連続体濃度である。よって始点の集合の濃度は連続体濃度である。

\(2^\infty\)とか証明では使えないので、実際は各始点を3進表記して、[0,1]との1対1対応をしめさないといけない。(略)

カントール集合は区間内部の点という要素をもたない。カントール集合の非可算性は区間の濃度に拠っているのではなく、始点の集合の濃度に拠っている。そして始点の集合は連続じゃないけど連続体濃度をもつのである。(ちょっとびっくり)

零集合は Null set

零集合はNull set、もしくは Lebesgue null set
空集合はEmpty setだが、Null set ともいう
閉じたσ系はσ集合代数、σ集合体、σ algebraとかσ field
閉じてないσ系はσ集合環、σ ringのこと?
閉じたσ系における最大集合は全体集合、Universal setでいいの?
なんか用語がよくわからん。ググるとき困る

σ algebraのσは可算無限総和\(\sum\)のこと。algebraは代数なんで、"可算無限総和の代数"について閉じてる集合族。という感じか

完全加法族は閉じてないσ系のこと?
σ加法族は閉じたσ系のこと?

Wiki 完全加法族

\(\mu(e)=\infty\)の定義における仮定

108節の\(\mu(e)=\infty\)の定義の最後の部分に

(すなわち \(e_n \uparrow e\), \(\mu(e_n)\lt\infty\)なる集合列\(\{e_n\}\)の存在を仮定する。)

とある。"仮定する"ってなんだ?と思うが、これは \[ \begin{align} \mu(e)=\infty\ \Rightarrow\ \exists \{e_n\}\ \ e_n \uparrow e \land \mu(e_n)\lt\infty \\ \end{align} \\ \] を証明なしに認めるということだと思われる。証明なしに命題を認めるというのは公理を導入するということである。仮定する、、、云々と書かれるとわかりにくいが、公理が導入されているということである。

公理というと大げさなので、上の命題が成立するとき\(\mu(e)=\infty\)と定義する。と定義に含めることもできるが、証明なしの命題を導入するという状況に変わりはない。(公理を定義といっても状況は変わらない)

公理が妥当かどうかであるが、ユークリッド空間\(R^n\)における区間列の体積については妥当なかんじがする。また、最大集合\(\omega\)について公理をみとめれば、\(e\subset \omega\)については上の命題は証明できる(P403の定義の後ろ)

妥当というかユークリッド空間\(R^n\)においてはそういう区間列を構成できて証明できる(辺の長さが\(n\)の区間列とか)。なのでユークリッド空間ではこれは定理である
109節の可測関数の積分の定義

\[ \begin{align} (\Delta)~~~&E=e_1+e_2+\cdots+e_n \\ &v_i=\inf_{x\in e_i} f(x) \\ &s_\Delta=\sum_{i=1}^n v_i\mu e_i \\ \end{align} \\ \] すべての分割 \(\Delta\) に関する上限 \(\sup s_\Delta\) を集合Eの上のf(x)の積分といい、それを \[ \int_E f(x)\,d\mu \\ \] と書く。

これってリーマン積分の定義の区間による分割ってところが、可測集合 \(e_i\)による分割になってるだけなんでないの。なんかすごい自然な拡張でびっくり。もっとすごいトリッキーな定義がされるのかと思ってた。
ルベーグ積分は可測関数の積分の一例である。なのでルベーグ積分の最初のアイデアはリーマン積分の定義の区間分割のところを改良しようというだけのことだったのかもしれない。知らんけど

もっとも、定義に意味をもたせるために、測度 \(\mu e\) の話を延々と読まないかんわけだが
もともとルベーグ測度ってのはユークリッド空間で定義されるものだから、確率空間のルベーグ測度ってのはそもそも言い方がまちがってるっぽい。となると確率空間のルベーグ積分ってのもあってるのかどうか。用語用法はともかく確率空間の測度と積分が目標である。だいぶ遠いけど

ユークリッド空間のルベーグ積分

114節の425頁で \[ \color{blue}{ \begin{align} 現在当面の場合(Euclid空間)、\cdots \\ \end{align} } \] と書かれている。げっ、こんな縛りがあったのかorz。確率空間のルベーグ積分ってのが学習目標だったのだけど、どれだけやり直しになるのだろうか?
たぶんEuclid空間という仮定の縛りをうけるのは区間とか区間の体積をつかった定義、定理のところだとおもう(よくわからんけど)。とりあえず114節の外測度の定義はアウトで、カラテオドリの測度の定義はセーフっぽい。107節、109節の可測関数と積分の話はセーフなのか、セーフであって欲しい。まあ、いきなり一般的な話を読んでもまったく分からんだろうから、これでいいのかもしれん、、、

(追記) 114節の(2)式(外測度の劣加法性)の証明に区間の体積を利用した外測度の定義使ってるから、これもユークリッド空間の縛りうけてそう。でも、これが使えないとめっちゃ困るから、他の空間でも使えるんだろうね

外測度が有限加法的でない例

114節の425頁13行目付近で \[ \color{blue}{ \begin{align} &\overline{m}が加法的ならば、\overline{m}e+\overline{m}e'=\overline{m}w=mwなることを要するが、\\ &不幸にして、任意の集合e に関してそうは行かない。\\ \end{align} } \] と書かれているが、そうは行かない例を調べたのでメモ。

\(V\) を \(V\subset [0,1]\) のVitali集合とする。また \(V'=[0,1]-V\) とする。このとき \[ \begin{align} &\overline{m}V \gt 0 \ (\because 省略) \\ &\overline{m}V' \ge 1 \ (\because 省略、めっちゃ面倒) \\ \end{align} \] なので、 \[ \overline{m}V + \overline{m}V' \gt 1 = m[0,1] \] である。 ググりまくってやっと見つけた。Webのない時代なら詰んでた。()´д`()

(参考)Some Solutions to Stein & Shakarchi's Real Analysis 1.33

外測度が完全加法的でない例

114節の425頁1行目で \[ \color{blue}{ \begin{align} &e=\sum e_i \text{が単純和であっても、(2)において等号が成り立たない(その実例がある)から、}\\ &\text{外側度は完全加法性を有しない。} \\ \end{align} } \] と書かれているが、実例を調べたのでメモ。
\[ U=\sum_{q\in C}(q+V) \] の外測度が例になっている。ここで \(V\)は \[ V\subseteq[0,1] \] にあるVitali集合とする。また、\(C\)は \[ C=\mathbb{Q}\cap[-1,1] \] とする。\(\mathbb{Q}\)は有理数全体の集合である。\(q+V\)は\(V\)の各要素に\(q\)を足した集合である。 このとき \[ \overline{m}U\leq 3 \ (\because 省略) \\ \sum_{q\in C}\overline{m}(q+V)=\infty \ (\because 省略) \\ \] となる。よって \[ \overline{m}U \lt \sum_{q\in C} \overline{m}(q+V) \] となる。等号は成立しない。

(参考)Non-Measurable Sets