若干わかりにくいが上巻90頁で、(2.109),(2.110)は\(\bA=\bI\)のとき2つのガウス分布 \(\N\l(\bx|\bmu,\bLambda^{-1}\r),\ \N\l(\by|\bb,\bL^{-1}\r)\) の畳み込みの結果であると述べられている。整理すると
\[
\begin{align}
&\int \N(\by-\bx|\bb,\bL^{-1})\N(\bx|\bmu,\bLambda^{-1})\,d\bx ~~~\cmt{※2} \\
&~~~=\int \N\l(\by|\bx+\bb,\bL^{-1}\r)\N\l(\bx|\bmu,\bLambda^{-1}\r)\,d\bx ~~~\cmt{※3} \\
&~~~=\N(\by|\bmu+\bb,\bL^{-1}+\bLambda^{-1})~~~(\because\ (2,109),(2.110)で\bA=\bIのとき) \\
\end{align}
\]
ということである。これより \(\N\l(\bmu_k|\bm_k,(\beta_k\bLambda_k)^{-1}\r),\ \N\l(\bxh|\b{0},\bLambda_k^{-1}\r) \)の畳み込みを考えると
\[
\begin{align}
&\int \N\l(\bxh-\bmu_k|\b{0},\bLambda_k^{-1}\r) \N\l(\bmu_k|\bm_k,(\beta_k\bLambda_k)^{-1}\r)\,d\bmu_k ~~~(\because\ 畳み込みの定義より) \\
&~~~=\int \N\l(\bxh|\bmu_k,\bLambda_k^{-1}\r) \N\l(\bmu_k|\bm_k,(\beta_k\bLambda_k)^{-1}\r)\,d\bmu_k~~~\cmt{※3}\ (これが目的の積分である)\\
&~~~=\N\l(\bxh|\bm_k,\bLambda_k^{-1}+(\beta_k\bLambda_k)^{-1}\r)~~~(\because\ ガウス分布の畳み込みの結果より) \\
&~~~=\N\l(\bxh|\bm_k,\l(1+\beta_k^{-1}\r)\bLambda_k^{-1}\r) \\
\end{align}
\]
を得る。