\[
\leqalignno{
m_1 &= \mu_1-\Lambda^{-1}_{11}\Lambda_{12}(E[z_2]-\mu_2) &(10.13) \cr
m_2 &= \mu_2-\Lambda^{-1}_{22}\Lambda_{21}(E[z_1]-\mu_1) &(10.15)
}
\]
(10.13), (10.15)に \(E[z_1] = m_1, E[z_2] = m_2\) を入れると
\[
\leqalignno{
m_1 &= \mu_1 - \Lambda^{-1}_{11}\Lambda_{12}(m_2 - \mu_2) &(1) \cr
m_2 &= \mu_2 - \Lambda^{-1}_{22}\Lambda_{21}(m_1 - \mu_1) &(2)
}
\]
これを \(m_1\), \(m_2\) について解く。(2)を(1)に入れて
\[
\eqalign{
m_1 &= \mu_1 - \Lambda^{-1}_{11}\Lambda_{12}\{\mu_2 - \Lambda^{-1}_{22}\Lambda_{21}(m_1-\mu_1)-\mu_2\}
}
\]
これより
\[
\leqalignno{
&m_1 = \mu_1 - \Lambda^{-1}_{11}\Lambda_{12}\Lambda^{-1}_{22}\Lambda_{21}(m_1-\mu_1) \cr
&\therefore (1-\Lambda^{-1}_{11}\Lambda_{12}\Lambda^{-1}_{22}\Lambda_{21})m_1 = (1-\Lambda^{-1}_{11}\Lambda_{12}\Lambda^{-1}_{22}\Lambda_{21})\mu_1 &(3)
}
\]
ここで元の \(p(z)=N(z|\mu, \Lambda^{-1})\) は非特異としているので \(\cssId{c1_s}\Lambda^{-1}\) は正定値である。正定値の逆行列は正定値なので \(\Lambda\) も正定値である。なので \(|\Lambda| \gt 0\)
よって
\[
\leqalignno{
&|\Lambda| = \Lambda_{11}\Lambda_{22} - \Lambda_{12}\Lambda_{21} \neq 0
}
\]
これより
\[
\leqalignno{
&1 - \Lambda^{-1}_{11}\Lambda^{-1}_{22}\Lambda_{12}\Lambda_{21} \neq 0
}
\]
よって (3) の両辺を \(1 - \Lambda^{-1}_{11}\Lambda^{-1}_{22}\Lambda_{12}\Lambda_{21}\)で割って
\[
\leqalignno{
&m_1 = \mu_1
}
\]
を得る。これを (2) に入れて
\[
\leqalignno{
&m_2 = \mu_2
}
\]
を得る