\[
\newcommand\comment[1]{\color{red}{{\Tiny\mbox{#1}}}}
\newcommand\hz{\hat{z}}
\newcommand\hzl{\hat{z}_{i-1,i}}
\newcommand\hzh{\hat{z}_{i,i+1}}
\newcommand\l{\left}
\newcommand\r{\right}
\]
各区分における積分を \(P_i\) とする
\[
\leqalignno{
P_i &= \intop_{\hzl}^{\hzh} q(z)\,dz
= \intop_{\hzl}^{\hzh} k_i\lambda_i\exp\l\{ -\lambda_i(z-z_i) \r\}\,dz \\
&= k_i\lambda_i\frac{-1}{\lambda_i}\Big[\exp\{-\lambda_i(z-z_i)\}\Big]_{\hzl}^{\hzh} \\
&= k_i\Big[\exp\{-\lambda_i(\hzl-z_i)\}-\exp\{-\lambda_i(\hzh-z_i)\}\Big]
}
\]
\(y\) が \(i=M\) の区分にあるとすると(11.6)より
\[
\leqalignno{
z &= h(y)
= \intop_0^y q(z)\,dz = \sum_{i=1}^{M-1}P_i + \intop_{\hzl}^y q(z)\,dz \\
&= \sum_{i=1}^{M-1}P_i+k_M\Big[
\exp\{-\lambda_M(\hz_{M-1,M}-z_M)\} - \exp\{-\lambda_M(y-z_M)\}
\Big]
}
\]
これを y について解く
\[
\leqalignno{
y = h^{-1}(z)
= -\frac{1}{\lambda_{M}}
\ln \Big[
\exp\{ -\lambda_M(\hz_{M-1,M}-z_M)\}
- \frac{1}{k_M}\l( z - \sum_{i=1}^{M-1}P_i \r)
\Big] + z_M
}
\]
これを使って z の一様分布を y の分布に変換する
\({h^{-1}(z)}\)
\(z\)
\(q(y)\)
\(y\)
\(y\)
\(0\)
\(1\)
\(1\)
\(z\)
\(p(z)は一様分布\)