dで条件付けした場合は
\[
\begin{align}
p(a,b \mid d)
&= \frac{p(a,b,d)}{p(d)} ~~~(\because\ 乗法定理(1.11)) \\
&= \frac{\sum_c p(a,b,c,d)}{p(d)} ~~~(\because\ 加法定理(1.10)) \\
&= \frac{\sum_c p(d \mid c)p(c \mid a,b)p(a)p(b)}{p(d)} ~~~(\because\ 同時分布(1)) \\
&= \frac{p(a)p(b)\sum_c p(d \mid c)p(c \mid a,b)}{p(d)} ~~~(\because\ c\ によらない項を和の外に出す) \\
&= \frac{p(a)p(b)\sum_c p(d,c \mid a,b)}{p(d)} ~~~\cmt{※1} \\
&= \frac{p(a)p(b)p(d \mid a,b)}{p(d)} ~~~(\because\ 加法定理(1.10)) \\
\end{align}
\]
これは \( p(a\mid d)p(b\mid d) \) に因数分解できないので、\(\cmt{※2}\)
\[
a \nindependent b \mid d
\]
である。
(注)確率分布の式変形において、\( a \independent b \mid \emptyset \) のとき、
\( p(a \mid b, d) = p(a \mid d) \) としたくなるが、これ
は一般に正しくない。
たとえば、
というモデルを考えると \( a \independent b \mid \emptyset \) であるが \( a \nindependent b \mid d \) である。
\( a \independent b \mid \emptyset \) だからといって、\( a \independent b \mid d \) とはかぎらない、\( a \nindependent b \mid d \) の場合もある。モデルによって異なる。うかつに \( p(a \mid b, d) = p(a \mid d) \) としないこと。(何度もひっかかったのでメモ)