\[ \newcommand\l{\left} \newcommand\r{\right} \newcommand\cmt[1]{\class{Cmt}{\mbox{#1}}} \newcommand\b[1]{\class{Bold}{\mathrm{#1}}} \newcommand\bx{\b{x}} \newcommand\bw{\b{w}} \newcommand\bv{\b{v}} \newcommand\bu{\b{u}} \newcommand\T{\mathrm T} \]

あるツリーがN個のメッセージを送ったあと保留メッセージがなくなったとする。
このときのメッセージ列を \[ M_1,M_2,\cdots,M_N \] とする。このツリーの任意のノード p に葉ノード o を追加する。 新しくできたツリーのメッセージ列は \[ \begin{align} &メッセージ列の先頭にノード\ o\ \to\ ノード\ p\ のメッセージ\ \color{red}{M_0}\ を追加する \tag{1} \\ &メッセージ列の末尾にノード\ p\ \to\ ノード\ o\ のメッセージ\ \color{red}{M_{N+1}}\ を追加する。 \tag{2} \\ &メッセージ列のうちノード\ p から\ o\ 以外の隣接ノードへの送信メッセージ\color{#0099ff}{M_{p1},\cdots}を \tag{3}\\ &\ \color{red}{M_0}\ を含むように変える \end{align} \] という手順で得ることができる。得られたメッセージ列は \[ \color{red}{M_0},M_1,M_2,\cdots,\color{#0099ff}{M_{p1}},\cdots,M_N,\color{red}{M_{N+1}} \] となり、これを送信したあと保留メッセージは残らない。\((\because 視察により)\)
よって、有限個のメッセージ送信で保留メッセージがなくなるツリーに葉ノードを１つ付け加えたものは、有限個のメッセージで保留メッセージがなくなる。と言える。

次に、ノード１つからなるツリーは保留メッセージを持たない。
また、すべてのツリーはノード１つから始めて１つづつ葉ノードを追加していくことで作ることができる。\((\because 視察により)\)

以上よりすべてのツリーは有限個のメッセージを送信したあと保留メッセージがなくなる。と言える。