\[
\newcommand\c[1]{\class{TinyCome}{\mbox{#1}}}
\newcommand\cc[1]{\class{Come}{\mbox{#1}}}
\newcommand\cause[1]{\class{Tiny}{(\because #1)}}
\newcommand\l{\left}
\newcommand\r{\right}
\newcommand\b[1]{\class{Bold}{\mathrm{#1}}}
\newcommand\bt{\b{t}}
\newcommand\by{\b{y}}
\newcommand\bx{\b{x}}
\newcommand\bw{\b{w}}
\newcommand\bI{\b{I}}
\newcommand\bT{\b{T}}
\newcommand\bX{\b{X}}
\]
\( \bT = \{\bt_n\},\ \bX = \{\bx_n\} \) とすると、観測値 \( (\bt_1,\bx_1),\ (\bt_2,\bx_2),\cdots \) の尤度関数は
\[
\leqalignno{
p(\bT|\bX,\bw)
&= \prod_{n=1}^N p(\bt_n|\bx_n,\bw) ~~~ \cause{(\bt_1,\bx_1),\ (\bt_2,\bx_2),\cdots\ は独立} \\
&= \prod_{n=1}^N {\cal N}(\bt_n|\by_n(\bx_n,\bw), \beta^{-1}\bI) ~~~\cause{(5.16)} \\
&= \prod_{n=1}^N \frac{1}{(2\pi)^{K/2}} \frac{1}{\lvert \beta^{-1}\bI \rvert^{1/2}}
\exp \l\{ -\frac{1}{2}(\bt_n -\by_n)^{T} (\beta^{-1}\bI)^{-1} (\bt_n -\by_n) \r\} \\
&= \prod_{n=1}^N \l( \frac{\beta}{2\pi} \r)^{K/2}
\exp \l\{ - \frac{\beta}{2} \lVert \bt_n - \by_n \rVert^2 \r\}
}
\]
これの負の対数をとると
\[
\leqalignno{
-\ln p(\bT|\bX,\bw)
&= - N \frac{K}{2} \l( \frac{\beta}{2\pi} \r) + \beta \sum_{n=1}^N \frac{1}{2} \lVert \bt_n - \by_n \rVert^2 \\
&= \beta \sum_{n=1}^N \frac{1}{2} \lVert \bt_n - \by_n \rVert^2 + C~~(Cは \bw によらない定数) \\
}
\]
となる。尤度 \(p(\bT|\bX,\bw) \) の最大化は、負の対数 \( -\ln p(\bT|\bX,\bw) \) の最小化と等価である。よって、尤度の最大化は\( \sum_{n=1}^N \frac{1}{2} \lVert \bt_n - \by_n \rVert^2 ~~~(5.11) \) の最小化と等価であると言える。