\[
\newcommand\l{\left}
\newcommand\r{\right}
\newcommand\cmt[1]{\class{Cmt}{\mbox{#1}}}
\newcommand\b[1]{\class{Bold}{\mathrm{#1}}}
\newcommand\bx{\b{x}}
\newcommand\bw{\b{w}}
\newcommand\balpha{\b{\alpha}}
\newcommand\bt{\b{t}}
\newcommand\bX{\b{X}}
\newcommand\bm{\b{m}}
\newcommand\bSigma{\b{\Sigma}}
\newcommand\bA{\b{A}}
\newcommand\bphi{\b{\phi}}
\newcommand\T{\mathrm T}
\newcommand\N{{\cal N}}
\]
(7.76),(7.81)において、\(\balpha=\balpha^*,\beta=\beta^*\) とすると
\[
\begin{align}
p(t\mid\bx,\bw,\beta^*)&=\N(t\mid y(\bx),(\beta^*)^{-1}) \tag{7.76} \\
p(\bw\mid\bt,\bX,\balpha^*,\beta^*)&=\N(\bw\mid\bm^*,\bSigma^*) \tag{7.81}
\end{align}
\]
となる。ただし \(\bm^*,\bSigma^*\) は(7.82),(7.83)において \(\balpha=\balpha^*,\beta=\beta^*\) としたもの。
これらより
\[
\begin{align}
p(t,\bw\mid\bx,\bt,\bX,\balpha^*,\beta^*)
&=p(t\mid\bx,\bw,\beta^*)p(\bw\mid\bt,\bX,\balpha^*,\beta^*)~~~(\because 乗法定理) \\
&=\N(t\mid y(\bx),(\beta^*)^{-1})\N(\bw\mid\bm^*,\bSigma^*) \\
\end{align}
\]
となる。\(\bw\) について周辺化すると
\[
\begin{align}
p(t\mid\bx,\bt,\bX,\balpha^*,\beta^*)
&=\int p(t,\bw\mid\bx,\bt,\bX,\balpha^*,\beta^*) \,d\bw \\
&=\int \N(t\mid y(\bx),(\beta^*)^{-1})\N(\bw\mid\bm^*,\bSigma^*)\,d\bw \\
&=\int \N(t\mid \bphi(\bx)^\T\bw,(\beta^*)^{-1})\N(\bw\mid\bm^*,\bSigma^*)\,d\bw ~~~\cmt{※1} \\
&=\N(t\mid\bphi(\bx)^\T\bm^*,(\beta^*)^{-1}+\bphi(\bx)^\T\bSigma^*(\bphi(\bx)^\T)^\T)~~~(\because (2.115)より) \\
&=\N(t\mid(\bm^*)^\T\bphi(\bx),(\beta^*)^{-1}+\bphi(\bx)^\T\bSigma^*\bphi(\bx))~~~\cmt{※2} \\
&=\N(t\mid(\bm^*)^\T\bphi(\bx),\sigma(\bx)^2) \tag{7.90}
\end{align}
\]
を得る。ただし
\[
\begin{align}
\sigma(\bx)^2=(\beta^*)^{-1}+\bphi(\bx)^\T\bSigma^*\bphi(\bx) \tag{7.91}
\end{align}
\]
とする。