\( (A\to B)\to C \) という定理があったとする。これは \(A\) が偽のとき、\( A\to B\) が真となり、このときも定理は、\(C\) が真と主張することになる。おそらく定理の主張は\(A\)が真で\(A\to B\) が真のとき \(C\) が真といいたいのであって、\(A\)が偽のとき\(C\)が真という主張は定理の意味をこわしていると思われる
たぶん一般に \( (A\to B)\to C \) という形の主張は論理式としてはあり得ても、定理としては意味が破綻するのであり得ないと思われる。
定理がそういう形に見えるのは、本当は、\( (A \land B)\to C \) もしくは、これと同値の \( (A \land (A\to B))\to C \) というのが正しい解釈なのを間違って解釈しているときだと思う。
\( (A\to B)\to (C\to D) \) もしくは、これと同値の \( (A\to B)\land C \to D \) という論理式は実用に使われると思われる。これはある定理 \( A\to B \) を適用して、 \( C\to D \) を証明する場合に相当する。
\( \forall\ x (f(x)\to g(x))\to h \) という定理は、\(f(x)\) が真になる \(x\) が存在すれば意味を持つ。
\( x\in \{1,2\} \)として \(\forall\ x\) をバラしてみると
\[
(f(1)\to g(1))\land((f(2)\to g(2))\to h
\]
となる。もし\(f(1)\)が偽であっても\(f(2)\)が真であれば、定理は \(((f(2)\to g(2))\to h\) という意味を持つことができる。しかし \(f(1),\ f(2)\) ともに偽のときは定理の意味が壊れる。
証明するときは、\( \forall\ x (f(x)\to g(x)) \) が真のとき \(h\) が真を示せばよい。 \(f(x)\)が真のとき\(g(x)\)が真であることを示す必要はない。気がつくと \(f(x)\to g(x)\) の証明を一所懸命考えてたりするので注意。