定理93の証明の前に[注意]がついているが、ここの論理がわたしら素人にはとてもわかりにくい
\[
\color{blue}{
\text{"} E\{f\ge 0\} \text{ と } E\{f\lt 0\} \text{ を分けてよい。} E \text{において } f(x)\ge0 \text{としてよい"}
}
\]
と書かれているがこれは
\[
\begin{align}
E\text{ において } f\ge0 \land \text{定理93の仮定} & \to \text{定理93の結論} \tag{1}\\
\swarrow ~~~~&~~~~ \searrow \\
E_1=E\{f\ge 0\} \text{ について定理93が成り立つ}~~~~&~~~~
E_2=E\{f\lt 0\} \text{ について定理93が成り立つ} \tag{2}\\
\searrow ~~~~&~~~~ \swarrow \\
&~~~~\llap{\mbox{定理93}} \tag{3}\\
\end{align}
\]
という推論によって定理93が証明できることを言っている。\((1)\)の証明は本文に与えられている。\((1)\Rightarrow (2) \)と\((2)\Rightarrow (3)\)の証明は省略されている。自分で確かめないといけない。
\[
\color{blue}{
\text{"} a=0 \text{ として } F(e)\ge0 \text{ を得る ... } F(e)\ge0 \text{ と仮定して証明すればよい"}
}
\]
という部分もわかりにくい。まず、\(F(e){\ge}0\) とは \((\forall e\ e{\subset} E \to F(e){\ge}0)\) のことである。これは、\(\text{仮定}(17)\ (\forall a,b,e\ -\infty{\le} a{\le} b{\le} \infty \land e{\subset} E\{a{\le} f {\le} b\} \to a\mu e{\le} F(e){\le} b\mu e)\)
において、\(a{=}0\land b{=}\infty\)としたものである。ここの論理は
\[
\begin{align}
& A\land (\forall a,b\ p(a,b)) \to B \equiv
A\land p(0,\infty)\land (\forall a,b\ p(a,b)) \to B \tag{4} \\
\end{align}
\]
なので、\((\forall e\ e\in E \to F(e)\ge0)\)という仮定を追加して証明すればよいということである。
なお、この \(F(e)\ge0\) という仮定は、[証明]で使われてないので？となるが、これは[注意]の中の \(\mu e_\infty {\gt} 0 \ \mbox{の場合}\ F(E){=}\infty \) を証明するときに使われている。
\[
\color{blue}{
\text{"} \mu e_\infty {\gt} 0 \text{ の場合 ... } \mu e_\infty {=} 0 \text{ の場合 ... "}
}
\]
という部分の論理は、
\[
\begin{align}
&C\lor D\ が真のとき \\
&A\to B \equiv A\land(C\lor D)\to B \\
&\hphantom{A\to B} \equiv (A\land C)\lor (A\land D)\to B \\
&\hphantom{A\to B} \equiv (A\land C\to B) \land (A\land D\to B) \\
\end{align}
\]
なので、\((\mu e_\infty {\gt} 0 \lor \mu e_\infty {=} 0)\equiv\text{真}\) であることより、
\[
(\mu e_\infty {=} 0 \land \text{定理93の仮定} \to \text{定理93の結論}) \land
(\mu e_\infty {\gt} 0 \land \text{定理93の仮定} \to \text{定理93の結論})
\]
を証明すればよいということである。\((\mu e_\infty {\gt} 0 \land \text{定理93の仮定} \to \text{定理93の結論})\)は、[注意]の中で証明されているので
\[
(\mu e_\infty {=} 0 \land \text{定理93の仮定} \to \text{定理93の結論})
\]
だけ証明できればよい。これより、\(\mu e_\infty {=} 0\) を仮定に追加することになる。本文で
\[
\color{blue}{
\text{"よって } \mu e_\infty {=} 0 \text{ としてよい"}
}
\]
と書かれているのはこのことを指している。
\[
\color{blue}{
\text{"} a{=}\infty \text{ とすれば } F(e_\infty){=}0 \text{ を得る"}
}
\]
これは、
\(\text{仮定}(17)\ (\forall a,b,e\ -\infty {\le} a {\le} b {\le} \infty \land e{\in}E\{a{\le}f{\le}b\} \to a\mu e{\le} F(e){\le} b\mu e)\) において、\(a{=}\infty\land b{=}\infty\land e{=}e_\infty\)
とすると、 \(F(e_\infty){=}0\) となることを言っている。なので、上の \((4)\) と同様の論理によって、 \(F(e_\infty){=}0\) を仮定に付け加えてよいことになる。
\[
\color{blue}{
\text{"}-\infty{\lt}a{\le}b{\lt}\infty \text{ なる }a,b \text{ に関して}(17)\text{を仮定すれば、定理は成り立つ"}
}
\]
ここで、仮定\((17)\) の条件 \(-\infty{\le}a{\le}b{\le}\infty\) が \(-\infty{\lt}a{\le}b{\lt}\infty\) と緩められている。緩めているのは、
\(a,b\) がそれぞれ \(\pm\infty\) を取った場合の仮定\((17)\)が他の仮定から導かれるからである。が、その辺の詳細は省略されている。自分で確認しないといけない。
ここで仮定を緩める(仮定を減らす)論理は、
\[
\begin{align}
&A\to B\ が真のとき \\
&A\land B\to C \equiv A\land(A\to B)\to C \\
&\hphantom{A\land B\to C} \equiv A\to C \\
\end{align}
\]
である。なお同じ論理を使って仮定を増やすこともできる。
以上、増やした仮定、減らした仮定をかき集めて
\[
\color{blue}{
\begin{align}
&\text{"}f(x){\ge}0,F(e){\ge}0,\mu e_\infty{=}0, F(e_\infty){=}0 \text{ と仮定して証明すればよい} \\
&\text{この仮定の下においては、}{-}\infty{\lt}a{\le}b{\lt}\infty\text{ なる }a,b \text{ に関して(１７)を仮定すれば定理は成り立つ。"}
\end{align}
}
\]
ということになる。この後[証明]がつづくが、[証明]では特にややこしい論理は使われていない。