閉集合の教科書の定義とwikiの定義が異なる。
こんな感じ
教科書の定義は、”閉集合≡すべての集積点を含む集合(7節P.16)”
wikiの定義は、”閉集合≡開集合の補集合”
wikiの定義は、”完全集合≡孤立点を含まない閉集合”
である。wikiの定義だと閉集合に孤立点を含む。孤立点は集積点ではない。
なので、一見すると教科書でいう閉集合は孤立点を含まず、wikiでいう完全集合に相当するように見える。
が、教科書の１１５節P.429で、
"三進集合は完全集合(孤立点のない閉集合)"
と書いてたりする。わけわからん
と思っていたが、よく見ると教科書の定義は、集積点以外の点を含むことを拒否していない。孤立点が含まれててもいいのである。集積点のみの集合であろうが、集積点＋孤立点の集合であろうが、すべての集積点が含まれてさえいれば閉集合なのである。簡単に間違った方向に進んで悩んでしまうのが素人の悲しいところである
(追記)
孤立点のみの集合も閉集合(\(\because 集積点の集合＝\varnothing\subset 閉集合\))。孤立点と孤立点の集積点の集合も閉集合(\(\{0\}\cup\Big\{n\in \mathbb{N} \Big| {1\over n}\Big\}\)とか)