\[ \newcommand\comment[1]{\color{red}{{\Tiny\mbox{#1}}}} \newcommand\hz{\hat{z}} \newcommand\hzl{\hat{z}_{i-1,i}} \newcommand\hzh{\hat{z}_{i,i+1}} \newcommand\l{\left} \newcommand\r{\right} \] 各区分における積分を \(P_i\) とする \[ \leqalignno{ P_i &= \intop_{\hzl}^{\hzh} q(z)\,dz = \intop_{\hzl}^{\hzh} k_i\lambda_i\exp\l\{ -\lambda_i(z-z_i) \r\}\,dz \\ &= k_i\lambda_i\frac{-1}{\lambda_i}\Big[\exp\{-\lambda_i(z-z_i)\}\Big]_{\hzl}^{\hzh} \\ &= k_i\Big[\exp\{-\lambda_i(\hzl-z_i)\}-\exp\{-\lambda_i(\hzh-z_i)\}\Big] } \] \(y\) が \(i=M\) の区分にあるとすると(11.6)より \[ \leqalignno{ z &= h(y) = \intop_0^y q(z)\,dz = \sum_{i=1}^{M-1}P_i + \intop_{\hzl}^y q(z)\,dz \\ &= \sum_{i=1}^{M-1}P_i+k_M\Big[ \exp\{-\lambda_M(\hz_{M-1,M}-z_M)\} - \exp\{-\lambda_M(y-z_M)\} \Big] } \] これを y について解く \[ \leqalignno{ y = h^{-1}(z) = -\frac{1}{\lambda_{M}} \ln \Big[ \exp\{ -\lambda_M(\hz_{M-1,M}-z_M)\} - \frac{1}{k_M}\l( z - \sum_{i=1}^{M-1}P_i \r) \Big] + z_M } \] これを使って z の一様分布を y の分布に変換する