\[ \newcommand\b[1]{\pmb{\mathrm{#1}}} \newcommand\ba{\b{a}} \newcommand\bt{\b{t}} \newcommand\bk{\b{k}} \newcommand\bsigma{\b{\sigma}} \newcommand\bW{\b{W}} \newcommand\bC{\b{C}} \newcommand\bI{\b{I}} \newcommand\T{\mathrm{T}} \newcommand\Hes{\b{H}} \newcommand\Ex{\b{\mathbb{E}}} \newcommand\Norm{{\cal N}} \newcommand\comment[1]{\Tiny\mbox{#1}} \newcommand\bkT{\bk^{\T}} \newcommand\bWN{\bW_N} \newcommand\bWNi{\bWN^{-1}} \newcommand\bCN{\bC_N} \newcommand\bCNi{\bCN^{-1}} \newcommand\baN{\ba_N} \newcommand\btN{\bt_N} \]

(目標)

\(p(a_{N+1}|\btN)\) の平均(6.87)と分散(6.88)を導け

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\[ \eqalignno{ &p(\baN | \btN) \simeq q(\baN) = \Norm(\baN | \baN^*, \Hes^{-1}) &(6.86) \\ &p(a_{N+1} | \baN) = \Norm(a_{N+1} | \underbrace{\bkT\bCNi\baN}_{\baN\comment{の１次式}}, c - \bkT \bCNi \bk) &(6.78) } \] これらは線形ガウスモデルになっているので \[ \eqalignno{ p(a_{N+1} | \btN) &= \int p(a_{N+1}, \baN | \btN) \, d\baN \\ &= \int p(a_{N+1} | \baN) p(\baN | \btN) \, d\baN &(6.77) } \] の平均と分散は、(2.115) で与えられる。よって \[ \eqalignno{ \Ex\left[a_{N+1} | \btN \right] &= \bkT \bCNi\baN^{*} \\ &= \bkT \bCNi \bCN (\btN - \bsigma_N)~~~\cdots~\comment{(6.84)より} \\ &= \bkT (\btN - \bsigma_N) &(6.87) } \] \[ \eqalignno{ \mathrm{var}\left[a_{N+1} | \btN \right] &= c - \bkT\bCNi\bk + \bkT\bCNi\Hes^{-1}(\bkT\bCNi)^\T \\ &= c - \bkT\bCNi\bk + \bkT\bCNi\Hes^{-1}\bCNi\bk ~~~\cdots~\comment{\(\bCN\)は対称なので\(\bCNi\)も対称} \\ &= c - \bkT\bCNi\bk + \bkT\bCNi\underbrace{(\bWN+\bCNi)^{-1}}_{\comment{(6.85)より}}\bCNi\bk \\ &= c - \bkT\bCNi(\bWN+\bCNi)^{-1}(\bWN+\bCNi)\bk + \bkT\bCNi(\bWN+\bCNi)^{-1}\bCNi\bk \\ &= c - \bkT\bCNi(\bWN+\bCNi)^{-1}\{(\bWN+\bCNi)-\bCNi\}\bk \\ &= c - \bkT\bCNi(\bWN+\bCNi)^{-1}\bWN\bk \\ &= c - \bkT\{\bWNi(\bWN+\bCNi)\bCN\}^{-1}\bk ~~~\cdots~\comment{\( (ABC)^{-1}=C^{-1}(AB)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}\)} \\ &= c - \bkT\{(\bI+\bWNi\bCNi)\bCN\}^{-1}\bk \\ &= c - \bkT(\bCN+\bWNi)^{-1}\bk &(6.88) } \] を得る。