\[ \newcommand\l{\left} \newcommand\r{\right} \newcommand\cmt[1]{\class{Cmt}{\mbox{#1}}} \newcommand\b[1]{\class{Bold}{\mathrm{#1}}} \newcommand\bx{\b{x}} \newcommand\T{\mathrm T} \]

\[ \begin{align} k(\bx,\bx')=\exp\l(-\|\bx-\bx'\|^2/2\sigma^2\r) \tag{6.23} \end{align} \] \(\exp\) の中を展開すると \[ \begin{align} k(\bx,\bx')=\exp\l(-\bx^\T\bx/2\sigma^2\r)\exp\l(\bx^\T\bx'/\sigma^2\r)\exp\l(-(\bx')^\T\bx'/2\sigma^2\r) \tag{6.25} \end{align} \] となる。ここで \(\exp\) のテーラー展開 \[ \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty{x^n \over n!} \] より \[ \exp(\bx^\T\bx'/\sigma^2) = \sum_{n=0}^\infty{\l(\bx^\T\bx'/\sigma^2\r)^n\over n!} \tag{1} \] これより \[ \begin{align} &\bx^\T\bx'\ は\ (6.1)\ より有効なカーネルである \\ &よって、{\l(\bx^\T\bx'/\sigma^2\r)^n\over n!}\ も\ (6.13),(6.18)\ より有効なカーネルである \\ &よって、(1)\ は\ (6.17)\ より有効なカーネルとなる。\\ &よって、(6.25)\ は\ (6.14)\ より有効なカーネルである。\\ &よって、(6.23)\ は\ (6.25)\ と同値なので、有効なカーネルである。 \end{align} \] となる。