\[ \newcommand\l{\left} \newcommand\r{\right} \newcommand\cmt[1]{\class{Cmt}{\mbox{#1}}} \newcommand\b[1]{\class{Bold}{\mathrm{#1}}} \newcommand\bx{\b{x}} \newcommand\bw{\b{w}} \newcommand\balpha{\b{\alpha}} \newcommand\bt{\b{t}} \newcommand\bX{\b{X}} \newcommand\bm{\b{m}} \newcommand\bSigma{\b{\Sigma}} \newcommand\bA{\b{A}} \newcommand\bphi{\b{\phi}} \newcommand\T{\mathrm T} \newcommand\N{{\cal N}} \]

(7.76),(7.81)において、\(\balpha=\balpha^*,\beta=\beta^*\) とすると \[ \begin{align} p(t\mid\bx,\bw,\beta^*)&=\N(t\mid y(\bx),(\beta^*)^{-1}) \tag{7.76} \\ p(\bw\mid\bt,\bX,\balpha^*,\beta^*)&=\N(\bw\mid\bm^*,\bSigma^*) \tag{7.81} \end{align} \] となる。ただし \(\bm^*,\bSigma^*\) は(7.82),(7.83)において \(\balpha=\balpha^*,\beta=\beta^*\) としたもの。
これらより \[ \begin{align} p(t,\bw\mid\bx,\bt,\bX,\balpha^*,\beta^*) &=p(t\mid\bx,\bw,\beta^*)p(\bw\mid\bt,\bX,\balpha^*,\beta^*)~~~(\because 乗法定理) \\ &=\N(t\mid y(\bx),(\beta^*)^{-1})\N(\bw\mid\bm^*,\bSigma^*) \\ \end{align} \] となる。\(\bw\) について周辺化すると \[ \begin{align} p(t\mid\bx,\bt,\bX,\balpha^*,\beta^*) &=\int p(t,\bw\mid\bx,\bt,\bX,\balpha^*,\beta^*) \,d\bw \\ &=\int \N(t\mid y(\bx),(\beta^*)^{-1})\N(\bw\mid\bm^*,\bSigma^*)\,d\bw \\ &=\int \N(t\mid \bphi(\bx)^\T\bw,(\beta^*)^{-1})\N(\bw\mid\bm^*,\bSigma^*)\,d\bw ~~~\cmt{※1} \\ &=\N(t\mid\bphi(\bx)^\T\bm^*,(\beta^*)^{-1}+\bphi(\bx)^\T\bSigma^*(\bphi(\bx)^\T)^\T)~~~(\because (2.115)より) \\ &=\N(t\mid(\bm^*)^\T\bphi(\bx),(\beta^*)^{-1}+\bphi(\bx)^\T\bSigma^*\bphi(\bx))~~~\cmt{※2} \\ &=\N(t\mid(\bm^*)^\T\bphi(\bx),\sigma(\bx)^2) \tag{7.90} \end{align} \] を得る。ただし \[ \begin{align} \sigma(\bx)^2=(\beta^*)^{-1}+\bphi(\bx)^\T\bSigma^*\bphi(\bx) \tag{7.91} \end{align} \] とする。