完全に加法的
完全に加法的の定義は、108節403頁にある。
\[
\color{blue}{
\sigma 系Mにおける集合函数に関し e =\sum e_n,e_n\in M が単純和なるとき、下記(1)の右辺が確定で \\
\begin{align}
f(e) &= \sum f(e_n) \tag{1} \\
\end{align}
ならば、f(e)は加法的という. \\
、、、云々、、、 \\
(1)が無限列に関して成り立つことを強調するためには、'完全に加法的' ともいうが、...
}
\]
"σ系M集合(完全加法族の可測集合)の集合函数について"という条件がついているのに注意。113節の区間列の無限和の話は、Riemann測度でも成立するので、Riemann測度は完全加法的か？と思ってしまうが、Riemann測度は、"あるσ系に属するすべてのM集合"については無限和が成立しない(そもそも定義できないこともある)ので完全加法的ではないのである。区間の例でいえば、有理数１つの集合{0.5}もM集合である。Riemann測度はこの集合に対して定義できない。113節の無限区間列は少し幅をもっているからRiemann測度が定義できたのである。１つか2つ無限和が成立するM集合が存在するだけでは完全とはいえんということらしい。