１１４節の425頁１３行目付近で
\[
\color{blue}{
\begin{align}
&\overline{m}が加法的ならば、\overline{m}e+\overline{m}e'=\overline{m}w=mwなることを要するが、\\
&不幸にして、任意の集合e に関してそうは行かない。\\
\end{align}
}
\]
と書かれているが、そうは行かない例を調べたのでメモ。
\(V\) を \(V\subset [0,1]\) のVitali集合とする。また \(V'=[0,1]-V\) とする。このとき
\[
\begin{align}
&\overline{m}V \gt 0 \ (\because 省略) \\
&\overline{m}V' \ge 1 \ (\because 省略、めっちゃ面倒) \\
\end{align}
\]
なので、
\[
\overline{m}V + \overline{m}V' \gt 1 = m[0,1]
\]
である。
ググりまくってやっと見つけた。Webのない時代なら詰んでた。（)´д`(）
(参考)Some Solutions to Stein & Shakarchi's Real Analysis 1.33