\[ \begin{align} (\Delta)~~~&E=e_1+e_2+\cdots+e_n \\ &v_i=\inf_{x\in e_i} f(x) \\ &s_\Delta=\sum_{i=1}^n v_i\mu e_i \\ \end{align} \\ \] すべての分割 \(\Delta\) に関する上限 \(\sup s_\Delta\) を集合Eの上のf(x)の積分といい、それを \[ \int_E f(x)\,d\mu \\ \] と書く。
これってリーマン積分の定義の区間による分割ってところが、可測集合 \(e_i\)による分割になってるだけなんでないの。なんかすごい自然な拡張でびっくり。もっとすごいトリッキーな定義がされるのかと思ってた。ルベーグ積分は可測関数の積分の一例である。なのでルベーグ積分の最初のアイデアはリーマン積分の定義の区間分割のところを改良しようというだけのことだったのかもしれない。知らんけど
もっとも、定義に意味をもたせるために、測度 \(\mu e\) の話を延々と読まないかんわけだが