一般に、\(G-F\)は開集合
とある。ただし、\(G\)は開集合、\(F\)は閉集合
(証明)
”ある点\(P\)があって、\(P\in G-F\)かつ\(P\)は\(G-F\)の内点でない”と仮定する。
\(P\)は\(G-F\)の内点でないので、\(P\)は\((G-F)'\)の集積点である。 ※1
よって、\(P\)のどのように近いところにも\((G-F)'\)に属する点が無数に存在する。
\((G-F)'=G'\cup F\)なので、
(1) \(P\)のどのように近いところにも\(G'\)に属する点が無数に存在する。または、
(2) \(P\)のどのように近いところにも\(F\)に属する点が無数に存在する。
となる。
(1)ならば、\(P\)は\(G\)の内点ではない。一方、\(P\in (G-F)\subset G\)なので、\(G\)の内点でない\(P\)が\(G\)に属することになり、これは\(G\)が開集合という条件に反する。
(2)ならば、\(P\)は\(F\)の集積点となる。一方、 \(P\in (G-F)\)より、\(P\notin F\)である。よって\(F\)の集積点\(P\)が\(F\)に属しておらず、これは\(F\)が閉集合という条件に反する。
よって”全ての点\(P\)について、\(P\notin G-F\)または\(P\)は\(G-F\)の内点である"となる。
すなわち”全ての点\(P\)について、\(P\in G-F\)ならば\(P\)は\(G-F\)の内点である"となる。 ※2
よって、\(G-F\)は開集合である。
※1 点\(P\)は集合\(E\)の内点でない \(\leftrightarrow\) 点\(P\)は余集合\(E'\)の集積点である
※2\((\overline{A}\lor B) \Leftrightarrow (A \to B)\)