閉集合の余集合は開集合
とある。
(証明)
閉集合\(F\)の余集合を\(F'\)とする。ここで、”ある点\(P\)があって\(P\in F'\)かつ\(P\)は\(F’\)の内点でない”と仮定する。
\(P\)は\(F'\)の内点でないので、\(P\)は\(F\)の集積点である。※1
一方、\(P\in F'\)すなわち\(P\notin F\)なので、これは\(F\)が閉集合であることに反する。
よって”すべての点\(P\)について、\(P\notin F'\)または\(P\)は\(F’\)の内点である”となる。
すなわち”すべての点\(P\)について、\(P\in F'\)ならば\(P\)は\(F’\)の内点である”となる。※2
\(F'\)に属する点はすべて内点なので、\(F’\)は開集合である。
※1 集合\(E\)に属する点\(P\)は集合\(E\)の内点でない \(\leftrightarrow\) 点\(P\)は余集合\(E'\)の集積点である
※2\((\overline{A}\lor B) \Leftrightarrow (A \to B)\)