もともとルベーグ測度ってのはユークリッド空間で定義されるものだから、確率空間のルベーグ測度ってのはそもそも言い方がまちがってるっぽい。となると確率空間のルベーグ積分ってのもあってるのかどうか。用語用法はともかく確率空間の測度と積分が目標である。だいぶ遠いけど
１１４節の425頁で
\[
\color{blue}{
\begin{align}
現在当面の場合(Euclid空間)、\cdots \\
\end{align}
}
\]
と書かれている。げっ、こんな縛りがあったのかorz。確率空間のルベーグ積分ってのが学習目標だったのだけど、どれだけやり直しになるのだろうか？
たぶんEuclid空間という仮定の縛りをうけるのは区間とか区間の体積をつかった定義、定理のところだとおもう(よくわからんけど)。とりあえず１１４節の外測度の定義はアウトで、カラテオドリの測度の定義はセーフっぽい。107節、109節の可測関数と積分の話はセーフなのか、セーフであって欲しい。まあ、いきなり一般的な話を読んでもまったく分からんだろうから、これでいいのかもしれん、、、
(追記) １１４節の(２)式(外測度の劣加法性)の証明に区間の体積を利用した外測度の定義使ってるから、これもユークリッド空間の縛りうけてそう。でも、これが使えないとめっちゃ困るから、他の空間でも使えるんだろうね
たぶんEuclid空間という仮定の縛りをうけるのは区間とか区間の体積をつかった定義、定理のところだとおもう(よくわからんけど)。とりあえず１１４節の外測度の定義はアウトで、カラテオドリの測度の定義はセーフっぽい。107節、109節の可測関数と積分の話はセーフなのか、セーフであって欲しい。まあ、いきなり一般的な話を読んでもまったく分からんだろうから、これでいいのかもしれん、、、
(追記) １１４節の(２)式(外測度の劣加法性)の証明に区間の体積を利用した外測度の定義使ってるから、これもユークリッド空間の縛りうけてそう。でも、これが使えないとめっちゃ困るから、他の空間でも使えるんだろうね
１１４節の425頁１３行目付近で
\[
\color{blue}{
\begin{align}
&\overline{m}が加法的ならば、\overline{m}e+\overline{m}e'=\overline{m}w=mwなることを要するが、\\
&不幸にして、任意の集合e に関してそうは行かない。\\
\end{align}
}
\]
と書かれているが、そうは行かない例を調べたのでメモ。
\(V\) を \(V\subset [0,1]\) のVitali集合とする。また \(V'=[0,1]-V\) とする。このとき \[ \begin{align} &\overline{m}V \gt 0 \ (\because 省略) \\ &\overline{m}V' \ge 1 \ (\because 省略、めっちゃ面倒) \\ \end{align} \] なので、 \[ \overline{m}V + \overline{m}V' \gt 1 = m[0,1] \] である。 ググりまくってやっと見つけた。Webのない時代なら詰んでた。（)´д`(）
(参考)Some Solutions to Stein & Shakarchi's Real Analysis 1.33
\(V\) を \(V\subset [0,1]\) のVitali集合とする。また \(V'=[0,1]-V\) とする。このとき \[ \begin{align} &\overline{m}V \gt 0 \ (\because 省略) \\ &\overline{m}V' \ge 1 \ (\because 省略、めっちゃ面倒) \\ \end{align} \] なので、 \[ \overline{m}V + \overline{m}V' \gt 1 = m[0,1] \] である。 ググりまくってやっと見つけた。Webのない時代なら詰んでた。（)´д`(）
(参考)Some Solutions to Stein & Shakarchi's Real Analysis 1.33
１１４節の425頁１行目で
\[
\color{blue}{
\begin{align}
&e=\sum e_i \text{が単純和であっても、(2)において等号が成り立たない(その実例がある)から、}\\
&\text{外側度は完全加法性を有しない。} \\
\end{align}
}
\]
と書かれているが、実例を調べたのでメモ。
\[ U=\sum_{q\in C}(q+V) \] の外測度が例になっている。ここで \(V\)は \[ V\subseteq[0,1] \] にあるVitali集合とする。また、\(C\)は \[ C=\mathbb{Q}\cap[-1,1] \] とする。\(\mathbb{Q}\)は有理数全体の集合である。\(q+V\)は\(V\)の各要素に\(q\)を足した集合である。 このとき \[ \overline{m}U\leq 3 \ (\because 省略) \\ \sum_{q\in C}\overline{m}(q+V)=\infty \ (\because 省略) \\ \] となる。よって \[ \overline{m}U \lt \sum_{q\in C} \overline{m}(q+V) \] となる。等号は成立しない。
(参考)Non-Measurable Sets
\[ U=\sum_{q\in C}(q+V) \] の外測度が例になっている。ここで \(V\)は \[ V\subseteq[0,1] \] にあるVitali集合とする。また、\(C\)は \[ C=\mathbb{Q}\cap[-1,1] \] とする。\(\mathbb{Q}\)は有理数全体の集合である。\(q+V\)は\(V\)の各要素に\(q\)を足した集合である。 このとき \[ \overline{m}U\leq 3 \ (\because 省略) \\ \sum_{q\in C}\overline{m}(q+V)=\infty \ (\because 省略) \\ \] となる。よって \[ \overline{m}U \lt \sum_{q\in C} \overline{m}(q+V) \] となる。等号は成立しない。
(参考)Non-Measurable Sets
ディリクレ関数は有理数で不連続なので、不連続点(特異点)は可算無限個である。と思ってしまうが、どっこい無理数でも不連続なので、不連続点(特異点)は非可算無限個である。
リーマン積分は可算無限個の特異点を許容するが、非可算無限個の特異点は許容しない。ディリクレ関数の特異点の濃度と、リーマン積分できないことは整合している。
リーマン積分は可算無限個の特異点を許容するが、非可算無限個の特異点は許容しない。ディリクレ関数の特異点の濃度と、リーマン積分できないことは整合している。
完全に加法的の定義は、108節403頁にある。
\[
\color{blue}{
\sigma 系Mにおける集合函数に関し e =\sum e_n,e_n\in M が単純和なるとき、下記(1)の右辺が確定で \\
\begin{align}
f(e) &= \sum f(e_n) \tag{1} \\
\end{align}
ならば、f(e)は加法的という. \\
、、、云々、、、 \\
(1)が無限列に関して成り立つことを強調するためには、'完全に加法的' ともいうが、...
}
\]
"σ系M集合(完全加法族の可測集合)の集合函数について"という条件がついているのに注意。113節の区間列の無限和の話は、Riemann測度でも成立するので、Riemann測度は完全加法的か？と思ってしまうが、Riemann測度は、"あるσ系に属するすべてのM集合"については無限和が成立しない(そもそも定義できないこともある)ので完全加法的ではないのである。区間の例でいえば、有理数１つの集合{0.5}もM集合である。Riemann測度はこの集合に対して定義できない。113節の無限区間列は少し幅をもっているからRiemann測度が定義できたのである。１つか2つ無限和が成立するM集合が存在するだけでは完全とはいえんということらしい。
膝の上部で内側が慢性的に痛い。ふくらはぎストレッチとか足の裏側のストレッチをずっとやってたけど、今回太ももストレッチをしてみたらかなり良く効いた。痛みが減った。表もストレッチすべきとは気づかんかった。どうせ変形性なんとかなんやろけど、ストレッチで誤魔化せるならありがたい
１１４節の424頁の頭で
\[
\color{blue}{
\text{Riemannの測度が弱い意味でのみ加法的}
}
\]
とあるが、これがまた素人泣かせの文章である。ド素人のワタシは、これを、"Riemann測度は定義できるが、完全加法ではない場合がある"と解釈してしまうのである。そして、そういう例を探して悩むのである。(見つけられませんでした、、、orz)
色々しらべて(ググって)、たぶんここで念頭にあるのはディリクレ関数の積分つまり有理数の集合の測度のことだと見当をつけたが、その場合、完全加法かどうか以前に、"Riemann測度が定義できない"のである。定義できないから完全加法でないと言われればそれまでだが、、、なんだかモヤっとする。
この次の
\[
\color{blue}{
\text{集合の無限列を許容することが重要で、}
}
\]
と書かれているところも悩む。Riemann測度でも可算無限個の特異点は許容してるし、可算無限個の区間列に分割できるでないの、、、とか思ってしまう。なので、ここは"単なる無限列"ではなく、"稠密に存在する無限列"を許容することが重要なんじゃないかなと思ってしまうのである。
リーマン測度といってるのはジョルダン測度のこと
きのう映画見た。ゴジラ。ガラガラだった。今回は頭痛なし。おもしろかった。いい気晴らしになった。最近は実写よりアニメのほうがおもしろい。今回、座席は前後の真ん中くらいにした。ちょっと見上げる姿勢だった。もう少し後ろの席のほうが楽だったかも。しかし、あまり離れると近視老眼で見えにくかったりする。面倒やな。